Matematika-odkrita ali izumljena
Pozdravljeni v oddaji znanstvene redakcije Frequenza della scienza, v kateri se bomo tokrat posvetili vašemu najljubšemu šolskemu predmetu - matematiki! Skupaj z matematiko bomo danes plavali med znanostjo in filozofijo. Govorili bomo o tem, kaj matematika je, kako se razlikuje od znanstvenih ved in kakšne paradokse lahko povzroči. Prav tako pa bomo nanjo pogledali tudi s filozofskega stališča.
Matematika se skriva povsod okoli nas, pomaga nam pri razumevanju in razvoju naravoslovnih znanosti, računalništva, ekonomije in še mnogo drugih področij. Omogoča nam razumeti svet okoli nas in naša življenja urejati z uporabo reda in logike. Brez matematike bi svet okoli nas deloval kaotičen. Zdelo bi se nam, da vse deluje po naključju, brez kakršnega koli reda in logike. Ampak, ali je matematika nekaj, kar smo si izmislili, da bi nam pomagalo razumeti kaotično realnost, ali pa svet res deluje po nekakšnem redu in logiki? Je matematika človeški izum ali del vesolja?
Preden se lotimo vprašanja, ali je matematika izumljena ali odkrita, se moramo najprej vprašati, kaj matematika sploh je. Čeprav si intuitivno predstavljamo, kaj je matematika, natančno definicijo težko najdemo. Matematika išče in uporablja vzorce, s katerimi formulira nove domneve. Resničnost teh domnev pa razreši z matematičnim dokazom. Če so matematični objekti dobri modeli nekega resničnega pojava ali situacije, lahko s pomočjo matematičnega razmišljanja prinese nov vpogled in predvidevanja o pojavu. Ključno orodje pri tem pa je uporaba logike in abstrakcije.
Za enostaven primer lahko navedemo števila. Vemo, da je 5 pomaranč plus 3 pomaranče enako 8 pomarančam. Enako velja, če združimo 5 jabolk s 3 jabolki. Matematičarka in matematik bosta opazila, da rezultat seštevanja objektov ni odvisen od samih objektov, ampak zgolj od njihove količine. V tem primeru je vrsta sadeža oziroma objekta, ki ga sešteva, nepomembna informacija, saj ne bo vplivala na končni rezultat. 5 plus 3 bo vedno 8 ne glede na to, katere vrste sadeže seštevamo. Zato ju bodo zanimala samo vprašanja in odnosi med števili. Posledica tega pa je, da matematika hitro postane abstraktna. O tem, kaj je matematika, je spregovoril tudi profesor s Fakultete za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, Matjaža Konvalinko:
Kaj je matematika, smo vprašali tudi upokojenega profesorja s Filozofske fakultete Univerze v Ljubljani, Andreja Uleta:
Povedali smo, da čeprav matematika izhaja iz konkretnih problemov, hitro postane abstraktna. Matematiki in matematičarke imajo radi abstraktnost, zato da se lahko posvetijo bistvu problema, nepotrebne informacije pa izločijo. Smiselno se je vprašati, ali lahko matematiko štejemo kot znanstveno vedo. Vsi vemo, da je matematika tesno povezana z drugimi znanstvenimi vedami, kot sta fizika in kemija. Kljub temu je navadno ne uvrščamo med znanstvene vede. Dve bistveni razliki med matematiko in znanostjo sta način pridobivanja novega znanja in njeno dokazovanje.
Znanost v splošnem analizira informacije, ki jih pridobi z opazovanjem določenega fenomena. Na podlagi tega poskuša ustvariti teorije, ki bi ta fenomen razložile in celo predvidevale nov fenomen, preden se zgodi. Po domače se temu pravi odkritje nekakšnega zakona narave. V znanosti zakone dokažejo z eksperimenti. Če eksperiment ob enakih pogojih proizvede enak rezultat, se to prevzame kot dokaz teorije.
Matematika je v tem vidiku drugačna. Dokaz v matematiki se razlikuje od znanstvenih dokazov. Za fizika bo določena teorija dokazana, če opravi denimo 100 eksperimentov, ki imajo ob enakih pogojih enak rezultat, kot ga je napovedala teorija. Po drugi strani lahko najde matematik na tisoče različnih praštevil, pa iz tega ne more kar sklepati, da je praštevil neskončno. Matematika se ne zanaša na zunanje opazovanje, ampak na logiko.
Da bi matematik dokazal, da je praštevil neskončno, mora na podlagi že preverjenih trditev s pomočjo logične argumentacije priti do želenega rezultata. Pomembno se od znanosti razlikuje tudi v tem, da znanost teorije dopolnjuje in zamenjuje z boljšimi. Matematika je v tem pogledu absolutna, kar pomeni, da bo enkrat, ko je neka zveza uveljavljena, vedno resnična. V matematiki ni skritih spremenljivk, ki bi lahko vplivale na rezultat, saj matematik ali matematičarka točno vesta, s katerimi predpostavkami se ukvarjata.
Vso matematiko lahko izpeljemo iz nabora osnovnih resnic, ki jim pravimo aksiomi. Če so aksiomi dobro postavljeni, se izognemo tudi paradoksom, ki se v matematiki, če nismo previdni, pojavijo zelo hitro. Več o aksiomih in paradoksih boste izvedeli v nadaljevanju oddaje.
Dobrodošli nazaj v oddaji Frequenza della scienza, v kateri danes govorimo o matematiki. Do sedaj smo govorili o tem, kaj je matematika, in jo primerjali z znanstvenimi vedami. Z matematiko smo se vsi srečali v šolah. Začeli smo z razumljivo poštevanko, končali s čudnimi odvodi in integrali, vmes pa smo si na plonkce pisali čudne formule. Ste se kdaj vprašali, zakaj so te formule sploh pravilne? Zakaj se določeno snov pri matematiki učimo prej kot druge? Matematiko se gradi tako kot katerokolo zgradbo - iz pritličja gradimo navzgor. Če pritličja nismo dobro zgradili, se bo slej ko prej porušila celotna zgradba. Matematični analog pritličja pa so aksiomi.
Matematika je nastala iz praktičnih potreb, njene osnove pa izvirajo iz opazovanj. Že Evklid si je prizadeval, da bi matematične osnove podal kar se da točno, zato je formuliral aksiome matematike. Aksiomi so v matematiki najosnovnejše resnice, ki se jih ne dokazuje, ampak prevzame za resnične, saj naj bi bile neposredno jasne. Eden od primerov aksioma ravninske geometrije pravi, da k dani premici obstaja skozi dano točko natanko ena vzporednica. Z navedbo aksiomov je želel Evklid razjasniti, katera dejstva moramo privzeti, katera pa lahko iz teh izpeljemo z logiko. Glavno orodje matematika ali matematičarke je uporaba logične argumentacije, in ne opazovanje sveta kot pri znanstvenih vedah. Domneva v matematiki je sprejeta za resnično, če in samo če jo lahko s pomočjo logične argumentacije izpeljemo iz aksiomov in že dokazanih trditev.
Kot že rečeno, je aksiomatski pristop k matematiki prvi uporabil Evklid približno 300 let pred našim štetjem. Postavil je sistem aksiomov - nabor temeljnih osnovnih resnic geometrije. Z logičnem sklepanjem je po nekaj korakih prišel do geometrijskih lastnosti, ki niso več tako nazorno očitne kot tiste, ki jih je zapisal kot aksiome. Izkazalo se je, da lahko z majhnim številom osnovnih resnic izpelje vso geometrijo.
Matematiki in matematičarke so ob koncu 19. stoletja in začetku 20. stoletja hoteli enako, kot je storil Evklid z geometrijo, storiti za celotno področje matematike. Formularizirati matematiko kot logičen sistem, ki sledi iz osnovnih resnic - aksiomov. Eden od glavnih razlogov je bila želja, da bi se znebili paradoksov v matematiki. Z besedo paradoks običajno opišemo očitno napačno ali protislovno izjavo, do katere smo prišli s samo navidez korektnim sklepanjem. Poleg tega govorimo o paradoksih tudi, kadar izjava ne vodi v zmoto, temveč pridemo do takšnega notranjega protislovja, ki ga ni mogoče razrešiti. To je paradoks v pravem pomenu besede.
Ahil in želva sta primer navideznega paradoksa. Grški junak Ahil in želva sta tekmovala v teku. Ahil je dal želvi 100 metrov prednosti, saj je vedel, da teče desetkrat hitreje od nje. Ujeti pa je ni mogel. Ko je pretekel 100 metrov, je imela želva 10 metrov prednosti. Ko je pretekel še teh 10 metrov, je želva imela 1 meter naskoka. Ko je pretekel tudi ta meter, je bila želva še vedno 10 centimetrov pred njim. Želva je torej vedno pred Ahilom. Paradoks je opredlil grški filozof Zenon. S svojimi paradoksi je zamajal osnove tedanje matematike. Takšne paradokse lahko ovržemo, če se hočemo pri tem izogniti pojmom, kot sta limita ali neskončnost, ki ju Grki še niso poznali. Paradoksi so matematike prisilili, da so svojo znanost s pomočjo logike zasnovali na aksiomih.
Eden izmed paradoksov, ki je motiviral matematike in matematičarke k aksiomatizaciji matematike, je tako imenovani paradoks brivca. Gre za paradoks iz teorije množic, eno izmed najbolj osnovnih področij matematike. Paradoks je leta 1902 podal angleški matematik in filozof Bertrand Russel in gre takole: Brivec je v izložbo postavil plakat z napisom: “Brijem vse moške tega mesta, ki se sami ne brijejo, in samo te!” Vprašanje je, kdo brije brivca? Če se brivec brije sam, sodi v množico moških, ki se brijejo sami. Prav teh pa on ne brije, torej ne brije niti sebe. Če pa se brivec ne brije sam, pripada množici vseh moških, ki se sami ne brijejo. Njegov oglas tedaj zagovarja, da on brije vse te moške, torej tudi sebe.
Tega protislovja ne moremo razrešiti, kot smo ga lahko z Ahilom in želvo. Seveda je zgodba o brivcu le ilustracija globljega problema v teoriji množic. Takih paradoksov matematiki in matematičarke ne marajo, zato so se jih želeli znebiti s pomočjo aksiomatskega pristopa.
Po glasbenem premoru bomo skupaj z matematiko zaplavali v filozofske vode. Ostanite z nami na 89,3 megaherca.
Dobrodošli nazaj v oddaji Frequenza della scienza. V prvem delu oddaje smo na matematiko pogledali s tehnične plati. Govorili smo o tem, kaj je, kako deluje in v čem se pravzaprav razlikuje od ostalih znanstvenih ved. Na koncu pa smo razpravljali še o paradoksih in njihovi motivaciji razvoja matematike. V drugem delu oddaje bomo govorili o neuradni delitvi matematike na teoretično in uporabno, prav tako pa bomo nanjo pogledali s filozofskega stališča.
Čeprav matematiko najprej povežemo s tehničnimi in naravoslovnimi vedami, ima matematika veliko skupnega s filozofijo. Najbolj očitno stičišče obeh ved je logika. Mnogi problemi so bili torej zanimivi tako matematikom kot filozofom. Enega takšnih primerov smo v današnji oddaji že omenili. To je paradoks o Ahilu in želvi. Dodajmo še Pascala, Descartesa in tudi Platona, ki je napisal veliko o filozofiji matematike. Več o tem, kaj imata skupnega matematika in filozofija, je povedal upokojeni profesor s Filozofske fakultete Andrej Ule:
Vprašali smo ga tudi, kdaj in zakaj je bila povezava med matematiko in filozofijo najmanjša:
Ko v naravoslovnih znanostih dokažejo nove teorijo, pravimo, da so odkrili nove zakonitosti narave. Newtonovi zakoni na primer veljajo neodvisno od človeškega obstoja. Kako pa je pri matematiki? So matematične teorije odkrite ali ustvarjene? S tem vprašanjem iz sveta znanosti vstopimo v svet filozofije. O njem so predvsem matematiki in filozofi razglabljali že zelo dolgo nazaj. Vrnili se bomo v Antično Grčijo in pogledali, kako so na matematiko gledali takrat.
Pitagorejci, ki so živeli v 5. stoletju pred našim štetjem, so menili, da so številke žive entitete in univerzalna načela. Število ena so imenovali “monad” generator vseh števil in izvor vsega stvarjenja. Starogrški filozof Platon je zagovarjal, da so matematični koncepti konkretni in prav tako resnični kot samo vesolje, ne glede na naše znanje o njih. Evklid, ki je znan kot oče geometrije, pa je verjel, da je narava manifestacija matematičnih zakonitosti. Več o tem, kako sta na matematiko gledala starogrška filozofa Platon in Aristotel, je povedal Andrej Ule:
Veliko drugih pa je bilo in je še danes mnenja, da je večina matematičnih konceptov in izrekov, razen morda števil, izum človeka. Menijo, da je njihova resnična vrednost odvisna od pravil oziroma aksiomov, ki se jih je spomnil človek. Ta vidik gleda na matematiko kot izumljeno logično vajo, ki ne obstaja zunaj človeške zavesti.
Tako bi lahko rekli, da je matematika jezik abstraktnih relacij, osnovanih na vzorcih, ki so jih prepoznali naši možgani v naravi. Jezik, ki je zgrajen z namenom, da te vzorce uporabi in izumi uporaben red v kaotičnem svetu. Eden izmed zagovornikov takšnega pogleda je bil nemški profesor matematike Leopold Kronecker iz 19. stoletja. Zagovarjal je, da je bog ustvaril naravna števila, vse ostalo pa je delo človeka. Eden izmed razlogov, zakaj veliko ljudi meni, da je matematika izumljena, je njena abstraktnost in nenazorna povezava med fizičnim svetom.
Tu je vredno omeniti, da neformalno matematiko delimo na teoretično in uporabno. Točne meje med delitvijo ni. V grobem lahko rečemo, da se uporabna matematika ukvarja s problemi, ki so več ali manj nastali iz aplikativnih problemov. Po drugi strani se teoretična matematika ukvarja s problemi, ki so nastali v čisti matematiki. Za primer lahko navedemo področje matematike, ki se ukvarja s parcialnimi diferencialnimi enačbami.
Študij parcialnih diferencialnih enačb je v glavnem motiviran iz praktičnih problemov, kot je denimo toplotni pretok. Čeprav je problem praktičen, ga lahko pogledamo z dveh zornih kotov. V numerični matematiki, ki naj bi veljala za uporabno matematiko, te bodo zanimale različne metode, kako priti do numerične rešitve. S teoretičnega zornega kota pa te bo zanimalo, ali taka rešitev sploh obstaja, in če obstaja, ali je ena sama. Več o delitvi matematike na teoretično in uporabno je povedal profesor s Fakultete za matematiko in fiziko Matjaž Konvalinka:
Čeprav se praviloma teoretična matematika ni razvijala z namenom, da bi rešila praktičen problem, se je pogosto izkazalo, da je bila čez čas uporabljena v drugih znanstvenih vedah. Leta 1960 je nagrajenec Nobelove nagrade s področja fizike Eugene Wigner skoval frazo “nerazumljiva učinkovitost matematike”. Wigner je opomnil, da se je mnogo čistih matematičnih teorij, ki so se razvile brez namena, da bi opisovale nekakšen fizičen fenomen, čez čas izkazalo za ključno stvar pri razvoju ostalih znanosti.
Eden izmed primerov sprva neočitne uporabnosti matematike je britanski matematik Gotftfried Hardy iz 20.stoletja. Trdil je, da njegovo delo ne bo nikoli koristilo drugim znanostim, a se je izkazalo, da se je motil. Njegovo delo s področja teorije števil je pomagalo ustanoviti kriptografijo. Kriptografija je veda o matematičnih tehnikah za dosego informacijske varnosti, kot je zaupnost, celovitost podatkov in preverjanje identitete in podatkov. Še večji časovni preskok je doživela matematična teorija vozlov, ki se je začela razvijati leta 1771. Uporabljena je bila približno 200 let kasneje v 20. stoletju, da bi razložila, kako se DNA razpleta med repliciranjem.
Po glasbenem premoru bomo omenili tudi, zakaj je v šolstvu tako velik poudarek na matematiki, prav tako pa bomo razpravljali o vprašanju, ali je matematika odkrita ali izumljena. Ostanite z nami na 89.3 megaherca.
Pozdravljeni nazaj v oddaji Frequenza della scienza, kjer danes govorimo o matematiki. Ste se vprašali, zakaj je v našem šolstvu velik poudarek na matematiki? Navsezadnje ima poleg slovenščine največ ur na urniku. Z izjemo računskih osnov pa je večina ljudi nikoli več ne uporablja. Povedali smo, da matematika do novih sklepov pride z logično argumentacijo. Ravno to je ena izmed bolj praktičnih stvari, ki se jo lahko iz matematike naučimo in uporabljamo v vsakodnevnem življenju - zmožnost logičnega in analitičnega razmišljanja. Več o tem je povedal profesor s Fakultete za matematiko in fiziko, Matjaž Konvalinka:
Nadaljeval je ...
V oddaji smo spoznali matematiko z različnih zornih kotov. Govorili smo o njeni vsebini, zgradbi in učinkovitosti na drugih področjih. Zaplavajmo še v filozofijo in se vprašajmo, ali je matematika človeški izum ali del vesolja, ki čaka da se ga odkrije.
Predstavili bomo tri odgovore. Prvi zagovarja, da je razlog, zakaj je matematika naravni jezik znanosti, to, da je vesolje podkrepljeno z enakim redom in logiko kot matematika. Če bi vesolje jutri izginilo, bi naše matematične resnice še vedno obstajale. Na nas pa je, da matematiko in njeno delovanje odkrijemo, saj nam bo to dalo moč razumevanja in predvidevanja različnih fizičnih fenomenov. Takemu pogledu bi lahko ohlapno rekli matematični platonizem.
Drugi možni odgovor je, da je matematika zgolj človeški izum. Njena učinkovitost pri opisovanju fizičnega sveta naj bi izhajala iz dejstva, da smo jo izumili ravno zaradi učinkovitosti. Matematika je tako produkt človeških misli in glede na to, kaj potrebujemo, jo tudi razvijamo. Če vesolje jutri izgine, bi matematika, tako kot tenis, gore in morje, izginila.
Tretji možni odgovor, ki je verjetno našim možganom tudi najbolj ljub, pa je, da nima veze. Kar ima vezo, so njeni rezultati, filozofijo pa pustimo filozofom. Takemu pogledu pravimo “ne razmišljaj preveč”.
Za zaključek oddaje prisluhnimo še, kako je na to vprašanje odgovoril profesor s Fakultete za matematiko in fiziko Matjaž Konvalinka:
Vprašali smo tudi upokojenega profesorja s Filozofske fakultete Andreja Uleta:
O resničnosti matematike premišljuje Jon.
Dodaj komentar
Komentiraj